Как найти интегральные схемы?


8

Например, как я могу рассчитать

$int_{\left | z \right |=1}\frac{dz}{z}$

I know that the answer is $2 pi i$ , но как мне это сделать, используя Mathematica?

+2

Параметризировать диапазон интеграции. Затем убедитесь, что вы правильно переписываете dz, используя правило цепи. (@Nasser дал ответ с явными подробностями, если это не ясно.) 23 авг. 132013-08-23 23:08:18

10
z = Exp[I t]; 
dz = D[z, t]; 
Integrate[(1/z) dz, {t, 0, 2 Pi}] 

Mathematica graphics

Идея заключается в том, чтобы преобразовать его в комплексной интеграции контура.

  0

Это неверно, 'dt' является« бесконечно малым », в то время как' D [z [t], t] 'is not (в' dt = D [ z [t], t] ') и т. д. 23 авг. 132013-08-23 23:08:12

  0

@Artes, поэтому я предполагаю, что вам не нужен первый способ выражения? т. е. использовать явную функцию? Удалит функцию и сохранит выражение. без проблем. 23 авг. 132013-08-23 23:14:19

  0

Вы можете написать 'dz = D [z, t] dt', но вы не должны писать' dz = D [z, t] '. Далее 'Интеграция [(1/z) dz, {t, 0, 2 Pi}]' не имеет смысла. 23 авг. 132013-08-23 23:17:50

+1

Теперь ваш подход более уместен, к сожалению, используя этот символ 'dz', он кажется дифференциалом, хотя кажется, что вы используете его в другом контексте. Вы не продемонстрировали легко, почему вы меняете $ \ frac {dz} {z} $ на другую функцию, используя те же символы. 24 авг. 132013-08-24 10:11:54


13

Если вы хотите, чтобы вычислить этот интеграл с Mathematica использование прекрасного $\;$ Cauchy Integral Formula подразумевающих адекватную теоремой Complex Residue. Таким образом, мы имеем $int_{\left | z \right |=1}\frac{dz}{z}= 2\pi i\; Res_{z_{0}=0}f$ where $f (z) = frac{1}{z}$ .

We can find the residue at $z_0 = 0$ of $F (Z)$ in Mathematica with Residue:

Residue[1/z, {z, 0}]
1

therefore:

$of$ \int_{\left | z \right |=1}\frac{dz}{z}= 2\pi i$