Почему оценка этой серии не выполняется?


0

Следующее выражение имеет ряд:

BesselJ[1,a x]BesselJ[1,b x]==a b (x^2)/4*Sum[(-1)^n*(a x/2)^(2n)*Hypergeometric2F1[-n,-1-n,2,b^2/a^2]/(n!Pochhammer[2,n]),{n,0,Infinity}] 

Где BesselJ[1,x] является функцией Бесселя первого рода порядка 1. Hypergeometric2F1[a1,a2,b1,x] является Гаусс гипергеометрическая функция. Pochhammer[2,n] - символ Поххаммера. Выражение этой серии может быть найдено, например. Bateman Manuscript Project, Высшие трансцендентные функции, том 2, и он имеет место без каких-либо ограничений.

Для выражения этой серии, если выбраны относительно небольшие параметры, например. a=1, b=2.5, x=3, и просто замените индекс суммы Infinite на 100, произведение функций Бесселя дает 0.045857190997445, а серия дает 0.045857190997469. Они хорошо совпадают. Однако для относительно большого x продукт функций Бесселя должен уменьшаться, например. a=1, b=2.5, x=100, произведение функций Бесселя дает 0.003338005199477126, но серия дает 6.410492282570008*10^131, которая, по-видимому, расходится. Причина этого расхождения неизвестна для меня. Не может быть лучше увеличить термины выражения серии или улучшить точность гипергеометрической функции Гаусса.

Может ли кто-нибудь помочь? Благодаря!

  0

'ABX^2/4' странно здесь, и я думаю, что это не влияет на ваши convergence.After положить дорожит своей постоянной, не делает ничего, чтобы сходимости или расходимости из серии. Если я принимаю это как 'a b (x^2) /4'..for все значение x, я получаю' 0.045857190997445' 25 авг. 132013-08-25 09:00:21

  0

@Blackbird: Спасибо! Коэффициент a * b * (x^2)/4, безусловно, не имеет значения. Решающим фактором сходимости является сумма [...]. «Если я принимаю это как b (x^2)/4 .. для всех значений x, я получаю 0.045857190997445», это неверно, пожалуйста, проверьте, не пропущен ли фактор (ax/2)^(2n). 26 авг. 132013-08-26 04:20:05

  0

'Hypergeometric2F1 [-n, -1-n, 2, b^2/a^2]' имеет независимый 'a, b', но на самом деле они не являются независимыми в ваших поставленных параметрах, параметр' ax, bx' должен быть 'ax, bx'. Полагаю, что ряды серий ошибочны. 26 авг. 132013-08-26 06:24:14

  0

так получилось ли у меня то, что у меня есть? Я уже пробовал то же самое. 26 авг. 132013-08-26 13:06:01

  0

BesselJ [1, ax] BesselJ [1, bx] == ab (x^2)/4 * Sum [(- 1)^n * (ax/2)^(2n) * Гипергеометрический 2F1 [-n, -1 -n, 2, б^2/а^2]/(п! Похгаммера [2, п]), {п, 0, бесконечность}]. Да, это правильное выражение, которое просто оценивается мной. Я думал, что пропуская пространство между параметрами не приведет к непониманию выражения. Теперь вы можете наблюдать вышеупомянутое явление. Выражение не имеет проблемы. Проблема заключается в его количественной оценке. 26 авг. 132013-08-26 13:20:37

  0

Если вы правильно введете выражение, серия будет зависеть от x. Кроме того, при a = 1, b = 2,5 серия потеряет эффективность при x> 10.5. 26 авг. 132013-08-26 13:42:10

5

Это не очевидно для меня, что именно вы сделали. Когда я делаю то, что вы описываете, я не получаю расходящихся значений.

func = BesselJ[1, a x] BesselJ[1, b x]; 
ss = Series[func, {x, Infinity, 2}, Assumptions -> {a > 0, b > 0}] 

(* Out[328]= Cos[\[Pi]/4 + a x] Cos[\[Pi]/4 + b x] (
SeriesData[x, 
DirectedInfinity[1], {2 a^Rational[-1, 2] b^Rational[-1, 2]/Pi}, 2, 6, 
    2]) + Cos[\[Pi]/4 + b x] (
SeriesData[x, 
DirectedInfinity[1], { 
    Rational[-3, 4] a^Rational[-3, 2] b^Rational[-1, 2]/Pi}, 4, 6, 
    2]) Sin[\[Pi]/4 + a x] + Cos[\[Pi]/4 + a x] (
SeriesData[x, 
DirectedInfinity[1], { 
    Rational[-3, 4] a^Rational[-1, 2] b^Rational[-3, 2]/Pi}, 4, 6, 
    2]) Sin[\[Pi]/4 + b x] + (
SeriesData[x, 
DirectedInfinity[1], { 
    Rational[9, 32] a^Rational[-3, 2] b^Rational[-3, 2]/Pi}, 6, 8, 
    2]) Sin[\[Pi]/4 + a x] Sin[\[Pi]/4 + b x] *) 

Численный проверка:

{func, Normal[ss]} /. {a -> 1, b -> 2.5, x -> 100} 

(* Out[329]= {0.00333800519948, 0.00333795972052} *) 
  0

Спасибо, господин Лихтблау, но вы не поняли мою серию правильно. Разумеется, для BesselJ [1, a x] BesselJ [1, b x] существует много разных типов расширений серий, но я просто говорю о серии, написанной в виде гипергеометрической функции Гаусса. На самом деле мне нужно выражение, написанное в виде степенных рядов x. 28 авг. 132013-08-28 05:19:12

  0

Ах. Есть два вопроса. Во-первых, вы просто не принимаете достаточно условий. Попробуйте 1000. Другой - это то, что вы используете арифметику машины. Я предполагаю, что это плохо страдает от ошибки отмены. В любом случае используйте 5/2 вместо 2,5 для вашего значения 'b'. 28 авг. 132013-08-28 14:17:38